Je gooit vijf maal drie munten op en telt hoe vaak de kop boven ligt. Dit blijkt respectievelijk 3, 2, 1, 3 en 2 keer te zijn.
a. Wat is het empirisch gemiddelde van de kansvariabele 'aantal malen kop bij 3 munten'?
Het empirisch gemiddelde is hier het gemiddelde van de waargenomen waarden van de kansvariabele. We hebben de kansvariabele vijf maal waargenomen - we hebben vijf keer drie munten opgegooid - en daarbij hebben we gemiddeld ( 3 + 2 + 1 + 3 + 2)/5 = 11/5 = 2,2 keer kop geteld. Het empirisch gemiddelde is dus 2,2.
b. Wat is de verwachte waarde van deze kansvariabele als de munt eerlijk is?
De verwachte waarde is 1,5 wanneer elke munt 50% kans heeft om op de kop-zijde te landen.
Elk van de 3 munten kan kop of munt worden, heeft dus 2 mogelijke uitkomsten. We hebben 3 munten, dus het totaal aantal mogelijke uitkomsten is 23 = 8. Stel voor deze uitkomsten een kanstabel op.
| Mogelijke uitkomsten | Kans | Waarde van X |
| MMM | 1/8 | 0 |
| MMK | 1/8 | 1 |
| MKM | 1/8 | 1 |
| KMM | 1/8 | 1 |
| MKK | 1/8 | 2 |
| KMK | 1/8 | 2 |
| KKM | 1/8 | 2 |
| KKK | 1/8 | 3 |
Wanneer we deze tabel samenvatten voor de verschillende waarden die de kansvariabele (X) kan aannemen:
| X | P(X = xi) |
| 0 | 1/8 |
| 1 | 3/8 |
| 2 | 3/8 |
| 3 | 1/8 |
c. Wat is dan de verwachte waarde van de variantie?
We kunnen de formule invullen op grond van de bovenstaande tabellen:
d. Is de munt vals?
De munt hoeft niet vals te zijn omdat het empirisch gemiddelde van 5 'steekproeven' afwijkt van de verwachte waarde. De verwachte waarde geeft het gemiddelde wanneer je (oneindig) veel 'steekproeven' zou trekken, dus heel vaak drie munten zou opgooien en het aantal malen 'kop' zou registreren.
e. Wat zou de verwachte waarde en de (verwachte) variantie zijn wanneer de munt vals is en de kans op kop 70% is?
Nu moeten we de kansen in de tabel aanpassen. De kans op een bepaalde uitkomst, bijvoorbeeld MMK is gelijk aan het product van de afzonderlijke kansen (want de munten vallen onahankelijk van elkaar): 0,3 ∙ 0,3 ∙ 0,7 = 0,063. Aangezien er drie mogelijkheden zijn om tweemaal munt en (dus) eenmaal kop te gooien, moeten we deze kans met drie vermenigvuldigen.
Ter controle: de kansen moeten sommeren tot 1.
| X | P(X = xi) |
| 0 | 1 ∙ 0,3 ∙ 0,3 ∙ 0,3 = 0,027 |
| 1 | 3 ∙ 0,3 ∙ 0,3 ∙ 0,7 = 3 ∙ 0,063 = 0,189 |
| 2 | 3 ∙ 0,3 ∙ 0,7 ∙ 0,7 = 3 ∙ 0,147 = 0,441 |
| 3 | 1 ∙ 0,7 ∙ 0,7 ∙ 0,7 = 0,343 |
We kunnen nu een nieuwe verwachte waarde en variantie uitrekenen:
De verwachte waarde van het aantal malen kop is nu hoger, wat logisch is omdat de kans op kop nu groter is.
De spreiding in de kansverdeling is wat lager geworden. Dit komt omdat de kansverdeling niet meer symmetrisch is; we hebben meer kans om veel dan weinig keren kop te krijgen.