a. Aangezien de z-score aangeeft hoeveel standaarddeviaties (σ) de X-waarde afwijkt van het gemiddelde (μ) weten we dat we moeten kijken naar de kans op een z-score die kleiner is dan -2 of groter is dan 2. Dus we zoeken de volgende kans: P(Z > 2,00) + P(Z < -2,00).
P(Z > 2,00) kunnen we direct in de tabel met rechter overschrijdingskansen opzoeken: dit is 2,28%. Omdat de standaardnormale verdeling symmetrisch is, is P(Z < -2,00) ook 2,28%. Dus de totale kans is 2,28% + 2,28% = 4,56%.
Voor de kans op meer dan drie standaarddeviaties van het gemiddelde, zoeken we dus de kans op bij P(Z > 3,00) = 0,13% en verdubbelen dit: 0,26%.
b. We moeten nu kijken naar de kans op een z-score tussen -1 en 1 en tussen -2 en 2.
De kans dat z tussen -1 en 1 ligt, is gelijk aan de totale kans (100%) min de kans dat z groter is dan 1 en de kans dat z kleiner is dan -1. P(Z > 1,00) = 15,87% en dus is ook P(Z < -1,00) = 15,87%.
Dus P(-1,00 < Z < 1,00) = 100% - 15,87% - 15,87% = 68,26%.
Hetzelfde voor de kans dat z tussen -2 en 2 ligt: P(2,00 < Z) = 2,28% dus P(-2,00 < Z < 2,00) = 100% - 2,28% - 2,28% = 95,44%.
NB dit ligt dicht bij de 'beroemde' 95%, vandaar dat vaak grofweg tweemaal de standaarddeviatie wordt genomen om de middelste 95% van de waarnemingen af te grenzen.
c. Een bijzonder vorm van een percentiel kennen jullie, namelijk de mediaan. De mediaan is die waarde van X waarvoor geldt dat 50% van de gemeten onderzoekseenheden een lagere waarde van X heeft. De mediaan is het 50ste percentiel.
Het pde percentiel is dus de waarde xi waarvoor geldt dat p% van de onderzoekseenheden een lagere waarde van X heeft. We moeten dus de xi weten waaronder 90% van alle waarnemingen liggen.
In een standaardnormaalverdeling kunnen we de z-score zoeken waaronder 90% van de waarnemingen vallen. De kansen zijn namelijk tegelijk relatieve frequenties. We weten dus de kans (P(X < xi) = 0,90) en zoeken de bijbehorende z-score. De grens waaronder 90% ligt, is de grens waarboven 10% ligt en die grens ligt (afgerond) bij z = 1,28 in de tabel van de standaardnormale verdeling.
Nu moeten we de z waarde nog omrekenen naar een xi waarde. x = μ + zX ∙ σ (zie het formuleblad) dus xi = 1000 + 1,28 ∙ 10 = 1012,8.
Voor het 10e percentiel kijken we naar de linker staart van de verdeling: de waarde waarboven 90% ligt. De verdeling is symmetrisch, dus is de z-waarde hier -1,28.
De z waarde omrekenen naar een xi waarde: x = μ + zX ∙ σ dus xi = 1000 + (-1,28) ∙ 10 = 987,2.