Antwoord bij rekenopgave 2.4

a. De kans is gegeven (2,5%) dus kunnen we de bijbehorende z-score opzoeken in de tabel. We zoeken de grens waarboven 2,5% ligt: bij z = 1,96. Vervolgens moeten we de gevonden z-score terugrekenen naar de scores van de oorspronkelijke variabele X. Dit kan met de onderstaande formule:

Anders gezegd: x_i is het gemiddelde plus 1,96 keer de standaarddeviatie.

b. De kans is gegeven (84,13%) dus moeten we de bijbehorende z-score opzoeken in de tabel. 100% - 84,13% = 15,87% van de kans boven de grens. Bij die kans kunnen we wel de z-score in de tabel opzoeken: de z-score is 1,00.

Anders gezegd: het gemiddelde plus één standaarddeviatie van 3.

c. We zoeken de grens waarboven 95% ligt. Deze grens ligt bij een negatieve z-score dus moeten we kijken bij 100% - 95% = 5% waar we z = 1,64 vinden. De grens waarboven 95% ligt, is dus z = -1,64. We rekenen nu op een snelle manier: het gemiddelde plus -1,64 keer de standaarddeviatie:

d. Deze opgave is wat lastiger omdat we eerst de kans moeten vinden bij een bekende grens van het interval (41) en vervolgens de onbekende grens (x_i) moeten vinden.

• Stap 1: de kans dat X kleiner is dan 41, oftewel P(X < 41). Eerst moeten we de z-score uitrekenen bij x = 41, namelijk z = (x - μ) / σ = (41 - 50) / 3 = -3.
  Uit de tabel blijkt dat de kans 0,13% is op een z-score groter dan 3,00 dus is de kans op een z-score kleiner dan -3,00 ook 0,13%.
  
• Stap 2: we moeten nu bepalen wat de kans is dat X groter is dan de onbekende grenswaarde x_i [P(X > x_i)]. Deze kans is gelijk aan 100% min de kans dat X kleiner is dan de grenswaarde x_i. Die kans is dus 100% - 86,30 - 0,13% = 13,57%.
• Stap 3: in de tabel staat de z-score bij deze kans: z_i = 1,10. Deze z-score moeten we omrekenen om de grenswaarde x_i te vinden:
  
  De grens ligt 1,10 keer de standaarddeviatie boven het gemiddelde.

e. Als 1% van alle gemeten populatie-eenheden een waarde hoger dan x_i heeft, betekent dit dat de kans 1% is dat een aselect gekozen eenheid een waarde hoger dan x_i heeft. Gezocht is: P(X > x_i) = P(Z > z_i) = 0,01. Uit de tabel blijkt (afgerond): z_i = 2,33.