Antwoord bij rekenopgave 2.7

De Stichting KijkOnderzoek (SKO) houdt de kijkcijfers van programma's op de Nederlandse televisie bij. Zij stellen o.a. vast welk percentage van de mensen die op een bepaald moment televisie kijken, naar een bepaald programma kijken. Voor alle programma's op de publieke zenders is het gemiddelde percentage 9,5 met een standaarddeviatie van 7,8. Laten we aannemen dat de verdeling normaal is.

a. Wanneer we aselect één televisieprogramma trekken, wat is dan de kans dat dit programma een kijkerspercentage heeft van 12 of hoger?

In feite wordt hier gevraagd naar de kans dat programma's een kijkpercentage van 12 of hoger hebben, wat hetzelfde is als het deel van alle programma's (in de populatie) dat een kijkpercentage van minstens 12 heeft.
Aangezien we mogen uitgaan van een normale verdeling, kunnen we de standaardnormale verdeling gebruiken om deze kans op te zoeken.
Daarvoor kunnen we de formule met z-scoren voor scores op een variabele gebruiken: het kijkpercentage is de variabele en we willen weten hoeveel procent van de programma's een score heeft boven 12 als de verdeling normaal is.

Bij een z-score van 0,32 hoort een rechter overschrijdingskans P_R(0,32) = 0,375. We hebben dus 37,5% kans om een programma trekken met een kijkerspercentage boven 12%.

b. Wanneer we een aselecte steekproef van 25 programma's trekken, wat is dan de kans dat deze programma's een gemiddeld kijkerspercentage hebben van 12 of hoger?

Let op, nu moet je formules gebruiken voor het steekproefgemiddelde! Voor steekproeven uit een normale verdeling met bekend populatiegemiddelde (μ) en populatiestandaarddeviatie (sigma) staan de formules bij 'Kansverdelingen en z-score'. Je moet de formule z-score van het steekproefgemiddelde onder H₀ gebruiken. Het bekende populatiegemiddelde kun je hier invullen voor μ₀. Het steekproefgemiddelde waarnaar we op zoek zijn - althans als grenswaarde - is 12.

Wanneer je deze berekening vergelijkt met die van vraag a, dan zie je dat het enige verschil is dat je vermenigvuldigt met de wortel uit de omvang van de steekproef. Je krijgt hierdoor een fors hogere zwaarde, dus een veel kleinere kans. De rechter overschrijdingskans P_R(1,61) = 0,054. We hebben dus maar 5% kans om een kijkerspercentagegemiddelde van 12 of hoger te krijgen in een steekproef van 25 programma's.

Eigenlijk is het niet zo gek dat het gemiddelde van een steekproef minder snel zal afwijken van het populatiegemiddelde dan de score van één aselect getrokken programma. In een steekproef zullen hoge en lage scores tegen elkaar wegvallen, zodat het steekproefgemiddelde in de buurt van het populatiegemiddelde komt.
Het ene getrokken programma kunnen we natuurlijk ook zien als een steekproef met omvang 1; de kleinst denkbare steekproef. Hoe kleiner de steekproef, des te groter de kans dat het gemiddelde van de steekproef verder van het populatiegemiddelde af ligt.