Antwoord bij rekenopgave 3.13

a. Toets de hypothese dat Zweedse jongeren online meer politiek actief zijn dan Nederlandse jongeren.

We moeten het verschil tussen de gemiddelden van twee groepen (steekproeven) toetsen, dus we voeren een t-toets op het verschil tussen twee gemiddelden uit. NB een z-toets is hier niet toegestaan omdat we het populatiegemiddelde niet kennen en de steekproef kleiner is dan 100.
Het toetsproces in stappen:

1. Specificeer de hypothesen. Nulhypothese: H₀: μ_Nederlanders ≥ μ_Zweden, H₁: μ_Nederlanders < μ_Zweden. We hebben dus een eenzijdige toets.
2. Kies de kansverdeling en de toets: t-verdeling en t-toets voor het verschil tussen twee gemiddelden.
3. Bepaal de kritieke waarde en het verwerpingsgebied. Het significantieniveau is in de opgave niet gegeven, dus gebruiken we de standaard α = 5%. Het aantal vrijheidsgraden is n₁ + n₂ - 2 = 81 + 28 - 2 = 107. Bij een eenzijdige toets is de kritieke t-waarde 1,660 (df = 100, hoger gaat de tabel niet). Bij een linkseenzijdige toets omvan het verwerpingsgebied dan alle t-waarden van -1,660 en lager.
4. Bereken de toetsingsgrootheid. We kunnen de formule voor t invullen (NB μ₁ - μ₂ = 0 volgens de nulhypothese):
   
5. Ga na of de berekende t-waarde in het verwerpingsgebied valt en interpreteer de uitkomst.
   De t-waarde voor de steekproef (-5,382) is duidelijk lager dan de kritieke waarde -1,660. De uitkomst ligt dus in het verwerpingsgebied zodat we de conclusie trekken dat we de nulhypothese moeten verwerpen. Het is te onwaarschijnlijk dat we dit verschil tussen de twee steekproefgemiddelden zouden vinden wanneer de gemiddelden in de populatie gelijk zouden zijn.
   Conclusie: De gemiddelde online politieke participatie is onder Zweedse jongeren (M = 1,76; SD = 0,13) significant hoger dan onder Nederlandse jongeren (M = 1,57; SD = 0,22), t (107) = -5,38, p < 0,05, d = 0,92. Dit is een relevant verschil, gezien het effect groot is (zie de onderstaande berekeningen).
   
   en
   
   De overschrijdingskans (p) kennen we niet, dus tonen we het significantieniveau.

b. Wat zijn de voorwaarden om deze toets te mogen uitvoeren?

Op de eerste plaats moet het gaan om een aselecte steekproef. Dat staat niet letterlijk in de tekst van de opgave.
Een t-toets toetst gemiddelden, dus moeten de gegevens het toestaan dat je een gemiddelde berekent. Daarvoor is een kwantitatieve variabele nodig, anders gezegd, de variabele moet minstens interval of ratio meetniveau hebben. Volgens de tekst van de opgave gaat het hier om een numerieke schaal, dus zal de variabele aan deze eis voldoen.
De steekproef omvat meer dan 30 Nederlanders dus mag de t-toets voor hen gebruikt worden ook al is de variabele in de populatie niet normaal verdeeld. Er zijn echter maar 28 Zweden in de steekproef. Hier mag de t-toets alleen gebruikt worden wanneer de variabele online participatie in de populatie van alle Zweedse jongeren normaal verdeeld is. Dit is maar de vraag: de schaal loopt van 1 tot 7 terwijl het gemiddelde erg dicht bij 1 ligt. De kans is dan groot dat er een rechtsscheve verdeling is in plaats van een symmetrische normaalverdeling.

c. Wat is het 90% betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil in online politieke participatie tussen Nederlandse en Zweedse jongeren?

We moeten de kritieke waarde van t opzoeken bij 10% tweezijdige significantie om een 90% betrouwbaarheidsinterval te construeren. Voor 100 vrijheidsgraden (hoger gaat de tabel niet), is de kritieke waarde van t 1,660. Dezelfde waarde als bij een eenzijdige toets op 5% significantieniveau (vraag a)!
We kunnen nu de formule invullen waarbij we verschillende getallen kunnen overnemen uit de berekening van t bij vraag a:

Conclusie: Het gemiddelde verschil in online politieke participatie tussen Nederlandse en Zweedse jongeren ligt met 90% zekerheid tussen -0,24 en -0,13.
Je kunt overigens het interval ook met positieve getallen aangeven wanneer je de score van de Nederlander aftrekt van de score van de Zweed in plaats van andersom.