a. Is een meerderheid van de stemgerechtigde Nederlanders vermoedelijk of zeker tegen uitbreiding van de EU? Gebruik een toets en construeer een 95%-betrouwbaarheidsinterval.
Om dit te toetsen moeten we nagaan of in de populatie meer dan 50% van de stemgerechtigden vermoedelijk of zeker tegen uitbreiding van de EU is. Dit kan met de binomiaaltoets, met als nulhypothese:
H0: π ≤ 0,5.
NB we houden er nu geen rekening mee dat het aandeel van tegenstemmers ook lager dan 50% kan zijn, vandaar dat we eenzijdig toetsen. Wil je daar wel rekening mee houden, dan moet je tweezijdig toetsen.
Mogen we de z-toets hier gebruiken? Dat mag wanneer N ∙ π0 > 5 en N ∙ (1 - π0) > 5. Hier komt dit uit op respectievelijk N ∙ π0 = 40 ∙ 0,5 = 20 en N ∙ (1 - π0) = 40 ∙ (1 - 0,5) = 20. We kunnen dus de standaardnormale verdeling gebruiken om de hypothese te toetsen.
Het aantal respondenten dat vermoedelijk of zeker tegen uitbreiding is, is 24. De proportie in de steekproef is dan p = 24 / 40 = 0,60. De z-waarde wordt dan:
Wanneer je tussendoor niet afrondt, krijg je overigens een uitkomst rond 1,265.
De rechter overschrijdingskans van z = 1,30 is volgens de tabel in Bijlage 1 van het boek van Van Peet et al. gelijk aan 0,0985.
Deze overschrijdingskans is duidelijk groter dan 5%, dus we verwerpen de nulhypothese niet. We gaan er niet van uit dat er in de populatie van stemgerechtigde Nederlanders een meerderheid (vermoedelijk) tegen de uitbreiding zal stemmen.
Het betrouwbaarheidsinterval kunnen we uitrekenen wanneer n ∙ p > 5 en n ∙ q > 5. We moeten nu dus de proporties in de steekproef gebruiken in plaats van de proporties volgens de nulhypothese. We komen dan uit op N ∙ p = 40 ∙ (24/40) = 24 en N ∙ (1 - p) = 40 ∙ (16/40) = 16. Beide uitkomsten zijn groter dan 5, dus het betrouwbaarheidsinterval kan berekend worden met de z-verdeling.
NB de standaardfout (wat onder het wortelteken staat) hebben we al uitgerekend voor de toets dus dit kunnen we direct in de formule invullen.
Het 95%-betrouwbaarheidsinterval wordt [0,45; 0,75]. Met 95% zekerheid ligt het aandeel van voorstemmers in de populatie tussen 45% en 75%. Er zou dus wel een meerderheid voor kunnen stemmen want waarden boven 0,50 liggen binnen het betrouwbaarheidsinterval, maar er zou ook een minderheid van voorstemmers kunnen zijn.
b. Is een meerderheid van de jongeren onder de stemgerechtigde Nederlanders vermoedelijk of zeker tegen uitbreiding van de EU? Gebruik weer een toets en een 95%-betrouwbaarheidsinterval.
We doen nu hetzelfde voor de jongeren afzonderlijk. Er is ook bij de jongeren aan de voorwaarden voldaan (N ∙ π0 = 20 ∙ 0,5 = 10 en N ∙ (1 - π0) = 20 ∙ (1 - 0,5) = 10) dus de z-toets mag uitgevoerd worden.
De proportie jongeren in de steekproef dat vermoedelijk of zeker tegen uitbreiding stemt, is 16 / 20 = 0,80.
Zonder tussentijdse afronding komt er overigens een z-waarde rond 2,68 uit.
De rechter overschrijdingskans van z = 2,63 is volgens de tabel in Bijlage 1 van het boek van Van Peet et al. gelijk aan 0,0043.
Deze overschrijdingskans is duidelijk kleiner dan 5%, dus we verwerpen de nulhypothese. We gaan er van uit dat er in de populatie van jongere stemgerechtigde Nederlanders een meerderheid (vermoedelijk) tegen de uitbreiding zal stemmen.
Mag het bijbehorende 95%-betrouwbaarheidsinterval geschat worden? N ∙ p = 20 ∙ (16/20) = 16 en N ∙ (1 - p) = 20 ∙ (4/20) = 4. Deze laatste uitkomst is te laag (≤ 5) dus mag de z-verdeling niet gebruikt worden om een betrouwbaarheidsinterval te schatten.