a. Construeer een 90% betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde.
Om de betrouwbaarheidsintervallen te kunnen berekenen hebben we het steekproefgemiddelde en de standaarddeviatie in de steekproef nodig. Die zijn niet gegeven dus die moeten we uitrekenen.
| Respondent | xi | xi2 | (xi - xi)2 | |
| 1 | 91 | 8281 |
|
48,136 |
| 2 | 80 | 6400 | 321,772 | |
| 3 | 99 | 9801 | 1,128 | |
| 4 | 110 | 12100 | 145,492 | |
| 5 | 95 | 9025 | 8,632 | |
| 6 | 106 | 11236 | 64,996 | |
| 7 | 78 | 6084 | 397,524 | |
| 8 | 121 | 14641 | 531,856 | |
| 9 | 106 | 11236 | 64,996 | |
| 10 | 100 | 10000 | 4,252 | |
| 11 | 97 | 9409 | 0,880 | |
| 12 | 82 | 6724 | 254,020 | |
| 13 | 100 | 10000 | 4,252 | |
| 14 | 83 | 6889 | 223,144 | |
| 15 | 115 | 13225 | 291,112 | |
| 16 | 104 | 10816 | 36,748 | |
| Som | 1567 | 155867 | Som | 2398,938 |
| Som/N | 97,938 | Som/(N-1) | 159,929 | |
| Wortel | 12,646 |
Eerst moeten we het gemiddelde en de standaarddeviatie in de steekproef uitrekenen (BS).
De standaarddeviatie met de conceptuele formule:
Met de rekenformule:
De steekproef is kleiner dan 30 maar de variabele is volgens de opgave in de populatie ongeveer normaal verdeeld, dus we mogen de t-verdeling gebruiken.
We zoeken het 90% betrouwbaarheidsinterval, dus het tweezijdige significantieniveau (α) is 0,10. De bijbehorende t-waarde bij N - 1 = 16 - 1 = 15 vrijheidsgraden is 1,753. We kunnen nu de formule invullen.
Het betrouwbaarheidsinterval is dan [92,40, 103,48].
b. Construeer een 95% betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde en vergelijk de breedte van dit interval met die van het interval in a.
Zie a maar zoek de t-waarde nu op in de kolom met tweezijdige significantie 5%: 2,132.
Het betrouwbaarheidsinterval is dan [91,20, 104,68]. Dit interval is wijder dan het 90% betrouwbaarheidsinterval.
c. Geef een zorgvuldige interpretatie van beide betrouwbaarheidsintervallen en leg uit waarom het 90% betrouwbaarheidsinterval nauwer is.
Het 90% betrouwbaarheidsinterval: [92,40, 103,48]. Met 90% zekerheid kunnen we zeggen dat het populatiegemiddelde ligt tussen 92,40 en 103,48.
Het 95% betrouwbaarheidsinterval: [91,20, 104,68]. Met 95% zekerheid kunnen we zeggen dat het populatiegemiddelde ligt tussen 91,20 en 104,68.
Als we minder zekerheid willen (90% in plaats van 95%) wordt het interval nauwer. De uitspraak over het ware gemiddelde is dan nauwkeuriger maar minder zeker.
d. Wat wordt het 95% betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde wanneer we niet mogen aannemen dat de variabele in de populatie normaal verdeeld is?
Dan mogen we de t-verdeling niet gebruiken. Ook de z-verdeling mogen we dan niet gebruiken, dus kunnen we geen betrouwbaarheidsinterval uitrekenen.