In de opgave staat dat het om onafhankelijke steekproeven gaat. We moeten dus een t-toets voor het verschil van twee gemiddelden gebruiken.
a. Stap 1: Stel de hypothesen op. Die zijn al gegeven in de opgave. Het is duidelijk dat het om een tweezijdige toets gaat.
Stap 2: We kunnen de toetsingsgrootheid t gebruiken omdat we met twee gemiddelden werken en we mogen uitgaan van een normale verdeling in de populatie. De z-toets mogen we niet toepassen omdat de steekproef kleiner is dan 100 en de standaardafwijking in de populatie onbekend is.
Stap 3: Bepaal de kritieke waarde en het kritieke gebied. Zoek de kritieke waarde van t op, d.w.z. de waarde waarboven de nulhypothese verworpen wordt.
Wanneer we mogen uitgaan van gelijke varianties in de populatie, is het aantal vrijheidsgraden is df = (n1 - 1) + (n2 - 1) = (12 - 1) + (27 - 1) = 37. Het significantieniveau (tweezijdig) is α = 10%, dus de kritieke waarde van t in de tabel is 1,687. Het kritieke gebied is dus t ≤ -1,687 en t ≥ 1,687.
Stap 4: Bereken nu de t-waarde voor deze steekproef. Begin met het uitrekenen van de pooled (gecombineerde) variantie:
Nu kunnen we de formule voor de standaardfout invullen:
En tenslotte kunnen we t uitrekenen.
Stap 5: Trek een conclusie: De gevonden t-waarde (-7,76) is kleiner dan de linker kritieke waarde (-1,687) dus ligt de gevonden t-waarde in het kritieke gebied. Het resultaat is dan statistisch significant en we verwerpen de nulhypothese dat er geen verschil is tussen de twee populatiegemiddelden. We accepteren de alternatieve hypothese dat er een verschil is tussen de gemiddelden van de twee populaties waarbij de steekproefgemiddelden erop wijzen dat het gemiddelde in de populatie waaruit de tweede steekproef (M = 37,4) is getrokken, hoger is dan de populatie waaruit de eerste steekproef (M = 31,7) is getrokken.
Conclusie: "Het gemiddelde in de populatie waaruit steekproef 1 is getrokken, is significant lager (M = 31,7, SD = 1,97) dan het gemiddelde in de populatie waaruit steekproef 1 is getrokken (M = 37,4, SD = 2,18), t (37) = -7,76, p < 10%."
NB de standaarddeviaties van de steekproeven krijg je door de wortel van de varianties (s2) te trekken.
b. Stappen 1 en 2 blijven hetzelfde maar in stap 3 moeten we de vrijheidsgraden op een andere manier berekenen:
Om nu de kritieke t-waarde in de tabel te vinden, kijken we naar het dichtstbijzijnde lagere aantal vrijheidsgraden in de tabel, dat is hier 24. Met een tweezijdig significantieniveau van 10% komen we dan uit op t = 1,711. Deze waarde is iets hoger dan bij a. Het kritieke gebied is dus t ≤ -1,711 en t ≥ 1,711.
Stap 4: Bereken nu de standaardfout en de t-waarde voor deze steekproef.
Stap 5: Trek een conclusie. Die is nu hetzelfde als bij a.
Commentaar: de toets is niet erg streng aangezien er een significantieniveau van 10% wordt gebruikt. Gezien de t-waarden die we voor de steekproeven vinden, had het significantieniveau wel wat lager gekozen kunnen worden. Ook dan waren er significante resultaten gevonden.
Je moet goede redenen hebben om een significantieniveau boven 5% te kiezen. Wanneer je die niet hebt, kies dan voor 5% als significantieniveau.