Antwoord bij rekenopgave 3.9

a. Vul deze tabellen verder in.

Er is een t-toets op één gemiddelde uitgevoerd, dus gebruik de formules die bij deze toets horen.

De standaardfout van het steekproefgemiddelde (Std. Error Mean) kunnen we afleiden uit de formule voor t:

De standaardfout kunnen we invullen in de formule voor t. In de teller van deze formule zien we het gemiddelde verschil (Mean Difference), namelijk het verschil tussen het steekproefgemiddelde (M = 4,70) en het gemiddelde dat we volgens de nulhypothese verwachten (μ0 = 4,00).

Het aantal vrijheidsgraden is eenvoudig te bepalen: N - 1 = 40 - 1 = 39.

Tenslotte moeten we het betrouwbaarheidsinterval nog berekenen, waarvoor we weer de standaardfout gebruiken. Bovendien moeten we de kritieke t-waarde hebben voor 95% betrouwbaarheid (dus 5% significantieniveau) bij 39 vrijheidsgraden: t (39) = 2,023.

SPSS vermeldt echter niet het betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde, maar het interval voor het verschil tussen het werkelijke populatiegemiddelde en het populatiegemiddelde volgens de nulhypothese. We moeten het hypothetische populatiegemiddelde (hier: 4,00) daarom aftrekken van het berekende betrouwbaarheidsinterval.

De ingevulde tabellen:
One-Sample Statistics

N Mean Std. Deviation Std. Error Mean
Nadruk 1 juist antwoord 40 4,700 1,620 0,256
One-Sample Test

Test Value = 4,00
t df Sig. (2-tailed) Mean Difference 95% Confidence Interval of the Difference
        Lower Upper
Nadruk 1 juist antwoord 2,734 39 0,009 0,700 0,182 1,218

b. Is de werkelijke gemiddelde beoordeling van deze factor groter dan 4? Gebruik α = 0,05. Interpreteer de resultaten van de toets.

Het toetsproces in stappen:

  1. Specificeer de hypothesen. Nulhypothese: H0: μ ≤ 4, H1: μ > 4. We hebben dus een rechtseenzijdige toets.
  2. Kies de kansverdeling en de toets: t-verdeling en t-toets voor gemiddelden.
  3. Bepaal de kritieke waarde en het verwerpingsgebied. Het significantieniveau is in de opgave gegeven: α = 5%. Het aantal vrijheidsgraden is N - 1 = 40 - 1 =39. Bij een rechtseenzijdige toets is de kritieke t-waarde dus 1,685. Het verwerpingsgebied omvat dan alle t-waarden van 1,685 en hoger.
  4. Bereken de toetsingsgrootheid. Zie vraag a.
  5. Ga na of de berekende t-waarde in het verwerpingsgebied valt en interpreteer de uitkomst. De t-waarde voor de steekproef (2,734) is duidelijk hoger dan de kritieke waarde 1,685. De uitkomst ligt dus in het verwerpingsgebied zodat we de conclusie trekken dat we de nulhypothese moeten verwerpen. Het is te onwaarschijnlijk dat we dit steekproefgemiddelde vinden wanneer de gemiddelde score op deze factor in de populatie daadwerkelijk 4 zou zijn.
    Je had dit ook direct kunnen aflezen uit de overschrijdingskans in de SPSS tabel: Sig. (2-tailed) = 0,009. Voor een eenzijdige toets moet je deze waarde halveren.
    Conclusie: De gemiddelde beoordeling van de factor "professoren die te veel nadruk leggen op één juist antwoord in plaats van op het denkproces en creatieve ideeën" (M = 4,70, SD = 1,62) onder alle studenten marketing aan deze universiteit is significant hoger dan 4, t (39) = 2,73; p = 0,005, eenzijdig, 95% CI [4,18, 5,22]; d = 0,43. Dit verschil ten opzichte van 4 is redelijk relevant, want de effectgrootte is klein tot middelmatig.
    De overschrijdingskans (p) is hier ontleend aan de SPSS tabel.

c. Mag je deze toets hier gebruiken?

Op de eerste plaats moet het gaan om een aselecte steekproef. Dat staat niet letterlijk in de tekst van de opgave.
Een t-toets toetst een gemiddelde, dus moeten de gegevens het toestaan dat je een gemiddelde berekent. Daarvoor is een kwantitatieve variabele nodig, anders gezegd, de variabele moet minstens interval of ratio meetniveau hebben. Strikt genomen heeft de 7-puntsschaal een ordinaal meetniveau, maar bij 7 of meer antwoordmogelijkheden mogen we net doen alsof het interval meetniveau is. Met die kanttekening mogen we de t-toets toepassen.
De steekproef omvat meer dan 30 waarnemingen dus mag de t-toets gebruikt worden ook al is de variabele in de populatie niet normaal verdeeld. We hoeven ons dus geen zorgen te maken over de vorm van de verdeling.

d. Stel dat een aselecte steekproef van 13 communicatiestudenten aan dezelfde universiteit gemiddeld 4,6 scoren met een standaardafwijking van 2,402 op dezelfde factor ("professoren die te veel nadruk leggen op één juist antwoord in plaats van op het denkproces en creatieve ideeën."). Kun je dan zeggen dat communicatiestudenten (op dat moment en aan die universiteit) meer van mening verschillen over deze factor dan de marketingstudenten?
Toets op 5% significantieniveau. Je mag uitgaan van normaal verdeelde populaties.

"Meer van mening verschillen" betekent, statistisch gezien, dat de spreiding in de scores hoger is. We moeten dus toetsen of de spreiding onder communicatiestudenten significant groter is dan onder marketingstudenten.
Om de spreiding tussen twee groepen te vergelijken, hebben we de F-toets voor twee varianties. Met als formule:

met df1 = n1 - 1 en df2 = n2 - 1 waarbij s12 > s22 bij een tweezijdige toets.
Kortom, we hebben alleen de twee varianties en steekproefgrootten nodig.

  1. Stap 1: Specificeer de hypothesen.
    H0: σ2marketing ≥ σ2communicatie
    H1: σ2marketing < σ2communicatie
  2. Stap 2: Kies de kansverdeling.
    Dit is een F-toets, dus we hebben de F-verdeling nodig als kansverdeling.
  3. Stap 3: Bepaal de kritieke waarde en het verwerpingsgebied.
    Allereerst moeten we kiezen of de toets eenzijdig is danwel tweezijdig. Je kunt de zinsnede "dat communicatiestudenten meer van mening verschillen dan de marketingstudenten" lezen als een stellige verwachting dat de spreiding onder communicatiestudenten hoger is. Dan kun je kiezen voor een eenzijdige toets. Wanneer je niet wilt uitsluiten dat de marketingstudenten een hogere spreiding hebben, moet je voor een tweezijdige toets kiezen.
    Zowel bij een eenzijdige als een tweezijdige toets worden de communicatiestudenten in de teller gezet en de marketingstudenten in de noemer: bij een eenzijdige omdat we verwachten dat de communicatiestudenten een hogere spreiding hebben en bij een tweezijdige toets omdat zij in de steekproef een grotere spreiding hebben. In beide gevallen zijn de vrijheidsgraden dus hetzelfde, namelijk 13 - 1 = 12 voor de teller en 40 - 1 = 39 voor de noemer.
    Zoek de kritieke waarde van F op in de significantietabel bij het gegeven significantieniveau. 39 vrijheidsgraden voor de noemer staat niet in de significantietabellen. Wanneer we conservatief toetsen, nemen we de dichtsbijzijnde lagere vrijheidsgraden, waarmee we uitkomen op 30.
    Voor een eenzijdige toets met α = 0,05 is Fkrit = 2,1 terwijl Fkrit = 2,4 bij een tweezijdige toets.
    Het verwerpingsgebied is dan respectievelijk 2,1 of hoger en 2,4 of hoger.
  4. Stap 4: Bereken de toetsingsgrootheid F voor de steekproef.
    Vul de formule voor F in:
  5. Stap 5: Ga na of de berekende waarde van de toetsingsgrootheid in het verwerpingsgebied valt: Dit blijkt wel het geval bij een eenzijdige toets maar niet bij een tweezijdige toets. Bij een eenzijdige toets verwerpen we dus de nulhypothese en gaan we ervan uit dat de spreiding onder communicatiestudenten groter is dan onder marketingstudenten. Bij een tweezijdige toets handhaven we de nulhypothese en gaan we ervan uit dat er geen verschil in spreiding is.