Antwoord bij rekenopgave 3.9e

a. We moeten een betrouwbaarheidsinterval uitrekenen en we weten zowel het populatiegemiddelde als de standaardafwijking in de populatie. We zouden dan technisch gezien een z-verdeling kunnen gebruiken om het betrouwbaarheidsinterval op te stellen. In plaats daarvan zullen we een t-verdeling gebruiken, omdat dit binnen dit vak de gangbare verdeling is om te gebruiken. Op de plaats van het steekproefgemiddelde (M) kunnen we het populatiegemiddelde invullen. De standaardafwijking in de populatie is de wortel uit de variantie in de populatie. Het aantal vrijheidsgraden berekenen we met de volgende formule: N - 1 = 99. De t-waarden waartussen 95% van de waarnemingen vallen, zijn -1,984 en 1,984 (zie het formuleblad of de t-tabel).

Het betrouwbaarheidsinterval is dus 95% CI [144,05, 155,95].
We mogen verwachten dat 95% van de steekproeven (met telkens 100 waarnemingen) uit deze populatie een gemiddelde hebben dat ligt tussen de 144 en 156.

b. Als a, met een ander getal voor de variantie (1600 i.p.v. 900).

We hebben hier een grotere standaardfout omdat we een grotere standaarddeviatie (in de populatie) hebben. Dus is het betrouwbaarheidsinterval breder dan bij vraag a: 95% CI [142,06 157,94].
We mogen verwachten dat 95% van de steekproeven (met telkens 100 waarnemingen) uit deze populatie een gemiddelde hebben dat ligt tussen de 142 en 158.

c. Het verschil in gemiddelden kunnen we direct uitrekenen omdat het gemiddelde van een steekproevenverdeling gelijk is aan het gemiddelde van de populatie (daarom is het steekproefgemiddelde een zuivere schatter van het populatiegemiddelde): μ₁ - μ₂ = 150 - 150 = 0.
Om de standaarddeviatie van de steekproevenverdeling te berekenen, moeten we ons realiseren dat dit de standaardfout van het verschil tussen de twee steekproefgemiddelden is.

d. Met het verschil in gemiddelden en de standaardfout van dit verschil (zie c) kunnen we het betrouwbaarheidsinterval uitrekenen waarbij we weer uitgaan van dezelfde kritieke t-waarde:

Het betrouwbaarheidsinterval van de verschilscores is dus 95% CI [-9,92, 9,92].

e. We hebben gezien dat de standaardfout bij de afzonderlijke steekproeven kleiner is (respectievelijk 3 en 4) dan de standaardfout van de verschilscore (5). Dit vind je altijd: door het verschil te nemen verhoog je de standaardfout (variabiliteit).