Antwoord bij rekenopgave 5.1e

a. Toets de nulhypothese dat de varianties in de populaties gelijk zijn.

De 5 vaste stappen voor het toetsen:

1. Stap 1: Specificeer de hypothesen.
   H₀: σ₁² = σ₂²
   H₁: σ₁² ≠ σ₂²
2. Stap 2: Kies de kansverdeling.
   De F-toets voor twee varianties toetst de nulhypothese dat de varianties in twee aselecte steekproeven gelijk zijn. We gebruiken dus de F-verdeling.
3. Stap 3: Bepaal de kritieke waarde en het verwerpingsgebied.
   Bepaal het aantal vrijheidsgraden. Het aantal vrijheidsgraden van de teller is n_{groep met hoogste variantie} – 1 = 27 – 1 = 26. Het aantal vrijheidsgraden van de noemer is n_{groep met laagste variantie} – 1 = 12 – 1 = 11.
   Zoek de kritieke waarde van F op in de significantietabel bij het gegeven of gekozen significantieniveau. In de tabel komen 26 vrijheidsgraden niet voor, dus kiezen we het dichtsbijzijnde aantal vrijheidsgraden: 24. De kritieke waarde is hier F = 2,6 .
   Bepaal het verwerpingsgebied. Bij een F-toets is het verwerpingsgebied altijd eenzijdig, dus alle F-waarden groter dan 2,6.
4. Stap 4: Bereken de toetsingsgrootheid F voor de steekproef.
   Vul de formule voor F in:
   
5. Stap 5: Ga na of de berekende F-waarde in het verwerpingsgebied valt:
   • a. zo ja, nulhypothese verwerpen en alternatieve hypothese accepteren,
   • b. zo niet, nulhypothese accepteren.
   
   De berekende waarde van de toetsingsgrootheid F (1,23) is niet groter dan de kritieke waarde (2,8) dus is de toets niet significant. We handhaven de nulhypothese dat de varianties gelijk zijn in de twee populaties waaruit de steekproeven getrokken zijn.

b. Stel, je moet nu de nulhypothese toetsen dat de gemiddelden gelijk zijn. Welke formules kies je dan?

Aangezien het om een toets van twee gemiddelden gaat, kunnen we het beste een t-toets gebruiken. Je zou ook een variantieanalyse kunnen uitvoeren, maar we spreken af dat we liever een t-toets uitvoeren bij twee groepen omdat die nauwkeuriger is.
Het gaat om twee afzonderlijke steekproeven in plaats van een herhaalde meting, dus kiezen we een t-toets voor het verschil in gemiddelden van twee steekproeven.

Dan moeten we nog kiezen tussen een toets waarbij de varianties gelijk zijn en een toets waarbij zij ongelijk zijn. Aangezien de F-toets bij a niet significant is, mogen we ervan uitgaan dat de varianties gelijk zijn. Dus kiezen we voor de volgende formules voor de standaardfout en voor de 'gepoolde' variantie: